此篇文章的内容高中生也是可以看得懂的，总之只要潜心思索，在物理上就自然会杀伐有道。虽然在物理上熟并不能生巧等比数列的性质，熟所生的巧并非大巧，一定是你认清它的本质之后才能巧，也就是佛教中所说的“胜解”，所以佛教也教人修观，只不过观的东西不同罢了。
这篇文章先抛掉等差数列公式，从另一个角度去认识等差数列。中学课本上的等差数列求和公式不过是错项相加，虽然我即将展示的方式比错项相加愈发直接了当。
几乎所有人都晓得，公比为frac{1}{2}（或2）的等差数列可以通过补项来求和，比如1+2+4+8+16=2-1
也就是补了一个1以后便是最大项的2倍。好多人之所以还能很快反应过来，是由于他把16看成了整体的frac{1}{2}，也就是说从整体中掏出16即取走了frac{1}{2}，又掏出8掏出了剩余部份的frac{1}{2}，这么继续下去，最后掏出1也是掏出最后剩余部份的frac{1}{2}，那也就自然晓得整体之中还剩下1没有掏出，这也就是说，这个数列额外加1之后就是整体，也就是16的2倍，所以该等差数列的和自然的
2-1。
虽然对于公比非frac{1}{2}的等差数列，我们也可以以这样的方法去认识它。诸如1+3+9+27+81
即公比为frac{1}{3}(或3)的等差数列求和。对于此问题，既然公比是frac{1}{3}，我们完全可以将最大项81看作整体的
1-frac{1}{3}=frac{2}{3}，
整体拿走81之后，剩余部份是整体的frac{1}{3}，而27是81的frac{1}{3},因而27自然是整体的frac{1}{3}的frac{2}{3},即整体拿走frac{2}{3}即拿走81之后剩余部份的frac{2}{3}，这么继续下去，每一项都是剩余部份的frac{2}{3},取到无穷次就是整体，这么对于这个有限项的数列，最终的剩余部份就是
frac{1}{frac{2}{3}}times(1-frac{2}{3})=frac{1}{2}，
这也就是说我们补上frac{1}{2}之后就是整体，即81timesfrac{3}{2}，因而该数列的和就是
81timesfrac{3}{2}-frac{1}{2},
在整个推论过程，假如我们把frac{1}{3}具象成q(|q|,项数具象成n,第n项记为a_{n}(绝对值从大到小排列)，则我们同样可以得到等差数列的求和公式为
frac{a_{1}}{1-q}-frac{a_{n}q}{1-q}=frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}
其中方程右边第一项表示首项占整体的1-q，因而要乘以它，第二项表示最后一项未被取出之前占剩余部份的1-q,因而也要乘以它，然而取出这一项以后，也就是1-q份被拿走，最终剩下q份没有被拿走，因而再除以q,这和等差数列错项相加所得到的求和公式求出的结果是一模一样的。假如是无穷等差数列，那就更简单了，结果只有第一项
frac{a_{1}}{1-q}
我们再来阐述一下循环小数问题，循环小数是中学生就熟知的，并且虽然是小学阶段也没有讨论清楚。中学阶段也只是简单地给了一个定义，说整数和分数也称有理数，同时也提到循环小数是分数，然而并未论证循环小数为何是分数，同时也没有论证分数化成小数假如无限则必循环的问题。
先论证循环小数一定可以化为分数，虽然结果非常漂亮。先举个反例，如循环小数0.cdots我们可以看作是首项为0.45公比为frac{1}{100}的等差数列。因而按照前面我们对等差数列的理解，我们晓得等比数列的性质，0.45是整体的
1-frac{1}{100}=frac{99}{100}
因而
0.cdots=0.45timesfrac{100}{99}=frac{45}{99}
再如
0.cdots=0.138timesfrac{1000}{999}=frac{138}{999}
也就是说循环位数有几个，分母就有几个9.我们再看一下非纯循环小数，如
0.cdots=frac{2}{10}+frac{1}{10}.cdots\=frac{2}{10}+frac{1}{10}timesfrac{34}{99}=frac{2}{990}+frac{34}{990}\=frac{2times(100-1)}{990}+frac{34}{990}=frac{200-2}{990}+frac{34}{990}=frac{234-2}{990}
也就是说循环位是几位，分母便有几个9，非循环位是几位，分母便有几个0，分子正是从小数点后第一位起，到循环位结束止，再乘以非循环位。
我们也可以用错项相加的思想解决循环小数问题。既然45.cdots是两位循环，可以将其扩大100倍，弄成45.cdots我们发觉，扩大100倍之后降低了45，这也就是说45是它的99倍，所以它化为分数是frac{45}{99}。0.cdotsfrac{138}{999}。与昨天的推论也是完全相同的。
再论证分数化为小数假如无限则一定循环的问题。分子乘以分母，不断地除下去，每一次的余数都比分母小，比如分母是11，则余数每一次都比11要小，因而在余数不为0的情况下（余数为0不是无限小数）最多进行11次，余数都会重复，余数重复则味着循环。至于循环小数的循环节的位数以及从第几位起开始循环请参见本人的另一篇文章
这儿面有深入且详细的讨论。
