0.记号及其说明

begin{array}{c|c|c} hline 现值&P&text{ Vaule}\ hline 终值&F&text{ Value}\ hline 年金&A&text{}\ hline 期数&n&text{}\ hline 利率&i&text{}\ hline end{array}\

现值

资金发生在某一特定时间序列的起点时的价值。

终值

资金发生在某一特定时间序列的中点时的价值。

年金

发生始点在首期(一期)期末，每期以等额收入或支出的款项。

复利

将上期末的本利和作为下一期的本金，即常说的利滚利。

1.相关公式1.1复利

知道现值求终值：

F=Ptimes(1+i)^n\

知道终值求现值：

P=frac{F}{(1+i)^n}\

1.2普通年金

color{red}{boxed{普通年金}}\ begin{array}{ccccc} qquad& A & A & A & A\ qquad& & & & \ hline end{array}\

知道年金求现值：

P_A=Atimesleft(P/A,i,nright)\

知道现值求年金：

A=frac{P}{(P/A,i,n)}\

知道年金求终值：

F_A=Atimes(F/A,i,n)\

知道终值求年金：

A=frac{F_A}{(F/A,i,n)}\

1.3即付年金

color{red}{boxed{即付年金}}\ begin{array}{ccccc} A & A & A & A & qquad\ & & & &qquad\ hline end{array}\

知道年金求现值：

我们套用普通年金现值计算公式，我们可以算出其前面的一点，即图中 color{red}{红色} 的一点

begin{array}{} color{red}{A}& A & A & A & A & qquad\ color{red}{}& & & & &qquad\ hline end{array}\

接着我们按照复利终值计算公式，求出所求的现值，即

P_A=Atimes(P/A,i,n)(1+i)\

知道年金求终值：

同理，我们套用普通年金终值计算公式，我们算出的是其前面一点，接着我们按照复利终值计算公式，向后计算一起即可

F_A=Atimes(F/A,i,n)(1+i)\

1.4递延年金

color{red}{boxed{递延年金}}\ begin{array}{} qquad& & A & A & A & A\ qquad& & & & & \ hline end{array}\

知道年金求现值：

我们套用普通将近现值计算公式，我们可以算出 所在的一点，接着我们按照复利现值计算公式，求出所求的现值，即

P_A=Atimes(P/A,i,n)(P/F,i,m)\

其中 m为递延期。

知道年金求终值：

实际上与递延期无关，因此就是普通年金终值的计算公式，即

F_A=Atimes(F/A,i,n)\

1.5永续年金

color{red}{boxed{永续年金}}\ begin{array}{} qquad & A & A & A & A\ qquad& & & & & cdots\ hline end{array}\

知道年金求现值：

P=frac{A}{i}\

知道年金求终值：

永续年金有个锤子的终值\

2.相关系数2.1复利终值系数

(F/P,i,n)=(1+i)^n\

2.2复利现值系数

(P/F,i,n)=frac{1}{(1+i)^n}\

2.3普通年金现值系数

boxed{(P/A,i,n)=frac{1}{i}-frac{1}{i(1+i)^n}}\

begin{align} P_A=Atimes(P/A,i,n)&=frac{A}{1+i}+frac{A}{(1+i)^2}+cdots+frac{A}{(1+i)^n}\ &=Aleft[frac{1}{1+i}+frac{1}{(1+i)^2}+cdots+frac{1}{(1+n)^n}right]\ &=Aleft[frac{1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-1}}cdot(1+i)^{-1}right]\ &=Aleft[frac{(1+i)-(1+i)^{1-n}}{1+i-1}cdot(1+i)^{-1}right]\ &=Aleft[frac{1-(1+i)^{-n}}{i}right]\ &=Aleft[frac{1}{i}-frac{1}{i(1+i)^n}right] end{align}\

2.4普通年金终值系数

boxed{(F/A,i,n)=frac{(1+i)^n-1}{i}}\

begin{align} F=Atimes(F/A,i,n)&=A+Atimes(1+i)+cdots+Atimes(1+i)^{n-1}\ &=A[1+(1+i)+cdots+(1+i)^{n-1}]\ &=Aleft[frac{1-(1+i)^{n}}{1-(1+i)}right]\ &=Aleft[frac{(1+i)^{n}-1}{i}right] end{align}\

2.5资本回收系数

即普通年金现值系数的倒数年金现值系数表，即

boxed{(A/P,i,n)=frac{1}{(P/A,i,n)}=frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}}\

2.6年偿债基金系数

即普通年金终值系数的倒数，即

boxed{(A/F,i,n)=frac{1}{(F/A,i,n)}=frac{i}{(1+i)^n-i}}\

2.7即付年金现值的系数

boxed{(P/A,i,n-1)+1=frac{1}{i}-frac{1}{i(1+i)^{n-1}}+1}\

begin{align} (P/A,i,n)(1+i)&=left[frac{1}{i}-frac{1}{i(1+i)^n}right]cdot(1+i) =frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}cdot(1+i)\ &=frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^{n-1}}=frac{(1+i)^{n-1}(1+i)-1}{i(1+i)^{n-1}}\ &=frac{(1+i)^{n-1}-1+i(1+i)^{n-1}}{i(1+i)^{n-1}}=frac{(1+i)^{n-1}-1}{i(1+i)^{n-1}}+1\ &=frac{1}{i}-frac{1}{i(1+i)^n}+1=color{red}{(P/A,i,n-1)+1} end{align}\

2.8即付年金终值系数

boxed{(F/A,i,n+1)-1=frac{(i+1)^{n+1}-1}{i}-1}\

begin{align} (F/A,i,n)(1+i)&=frac{(1+i)^n-1}{i}cdot(1+i)=frac{(1+i)^{n+1}-1-i}{i}\ &=frac{(1+i)^{n+1}-1}{i}-1=color{red}{(F/P,i,n+1)-1} end{align}\

2.9递延年金现值系数

boxed{(P/A,i,n)(P/F,i,m)=(P/A,i,n+m)-(P/A,i,m)}\

begin{align} (P/A,i,n)(P/F,i,m)&=left[frac{1}{i}-frac{1}{i(1+i)^n}right]cdotfrac{1}{(1+i)^m}\ &=left[frac{1}{i}-frac{1}{i(1+i)^{n+m}}right]-left[frac{1}{i}-frac{1}{i(1+i)^m}right]\ &=color{red}{(P/A,i,n+m)-(P/A,i,m)}\ end{align}\

由公式也能思考递延期的含义，进而了解到另一种计算的方法的实际意义。

2.10永续年金现值系数

boxed{(P/A,i,infty)=frac{1}{i}}\

begin{align} lim_{ntoinfty}(P/A,i,n)&=lim_{ntoinfty}left[frac{1}{i}-frac{1}{i(1+i)^n}right]\ &=frac{1}{i}-frac{1}{i}lim_{ntoinfty}frac{1}{(1+i)^n}\ &=frac{1}{i} end{align}\

此处可以进一步考虑2.9中的式子，即带有递延期是无限期的含义年金现值系数表，进一步思考2.9中的实际意义。

3.部分例题

明年再说......