雅各布·伯努利简介雅各布·伯努利，伯努利家族代表人物之一，物理家。他是最早使用“积分”这个术语的人，也是较早使用极座标系的物理家之一。他研究了悬链线，还确定了等时曲线的多项式。机率论中的伯努利试验与大数定律也是他提出来的。

雅各布·伯努利1654年12月27日生于英国巴塞尔，最初遵照母亲的意见学神学，当他读了笛卡儿、沃利斯的书后，顿受启发，兴趣转向物理。1676年到德国、英国等处，结交当地学者。从1687年起任巴塞尔学院院长，直至1705年8月16日于巴塞尔亡故。

因为雅各布杰出的科学成就，1699年他连任为米兰科大学外籍教授，1701年又被柏林科学商会接纳为会员。生平雅各布和父亲约翰·伯努利是莱布尼茨的同学，她们迅速把握了莱布尼茨的微积分并加以弘扬中信。雅各布在《学艺》上发表一系列的论文，1694年他首次给出直角座标和极座标下的曲率直径公式，这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提出悬链线问题，后来又改变条件，解决了更复杂的悬链问题。1694年的论文讨论了双纽线的性质，伯努利双纽线因而得名。1695年他提出知名的伯努利多项式。雅各布对对数螺线深有研究，他发觉对数螺线经过各类变换后，结果还是对数螺线。在惊讶这曲线的奇妙之余，遗书要将这曲线刻在石碑上，并附以颂词：“纵使变化，依旧故我”。可惜精雕师误将阿基米德螺线（等速螺线）刻了起来。

1713年雅各布的专著《猜度术》的出版，是组合物理及机率论史的一件大事，书中给出的伯努利数有好多应用。还有伯努利定律，这是大数定理的最早方式。伯努利数和伯努利方程伯努利数是18世纪德国物理家雅各布·伯努利引入的一个数。在物理上，伯努利数是一个有理数数列，在许多领域都有很大的应用。伯努利数在图论中很有用，还可用于费马大定律的论证中。

伯努利方程在对多种特殊函数非常是黎曼ζ函数和赫尔维茨ζ函数的研究中出现。作为阿佩尔序列的一种，与正交方程不同的是，伯努利方程的函数图象与x轴在单位宽度区间内的交点数量并不会随著方程次数的降低而下降。

当方程的次数趋近无穷大的时侯，伯努利方程的函数形状类似于三角函数。

伯努利方程在解析图论里有着举足轻重的作用，它良好的性质，促使我们希望它能拥有一个封闭的级数表达式，以让我们对它有更多的了解伯努利方程

简介伯努利数和伯努利方程在图论方面具有广泛应用，它与黎曼zeta函数有着紧密联系。历史

通常觉得，西班牙语文家雅可比cdot伯努利在其中首先引用了伯努利数。

他找出了一个自然数等幂求和的公式，并不加证明的给出了以下公式

sum_{k=1}^{n}{k^{c}}=frac{1}{c+1}n^{c+1}+frac{1}{2}n^{c}+frac{c}{2}B_{2}n^{c-1}+frac{c(c-1)(c-2)}{2cdot3cdot4}B_{4}n^{c-3}+cdotcdotcdot\

其中

color{Blue}{B_{n}}=-frac{1}{n}sum_{k=0}^{n-1}{left(begin{}n+1\kend{}right)}color{}{B_{k}},spacek=0,1,2,3cdots\

定义

伯努利数的母函数frac{t}{e^t-1}=sum_{n=0}^{infty}{frac{B_{n}}{n!}t^n}\伯努利方程的母函数

frac{te^{tx}}{e^t-1}=sum_{n=0}^{infty}{frac{B_{n}(x)}{n!}t^n}\

性质

B_{n}与B_n(x)的关系

B_n(x)=sum_{m=0}^{n}{left(begin{}n\m\end{}right)B_mx^{n-m}}\

差分

B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\

微分

B_n^{'}(x)=nB_{n-1}(x)\

积分

int_{a}^{b}{B_n(x)dx}=sum_{k=a}^{b-1}{int_{k}^{k+1}{B_n(x)dx}}=sum_{k=a}^{b-1}{k^n}\

非常的，设a=1,b=t+1，带入上式可得

sum_{k=1}^{t}{k^n}=int_{1}^{t+1}{B_n(x)dx}\

乘法公式

B_n(x+m)=sum_{k=0}^{n}{left(begin{}n\kend{}right)B_k(x)m^{n-k}}\

加法公式

B_n(mx)=m^{n-1}sum_{k=0}^{m-1}{B_k(x+frac{k}{m})}\

加法公式的证明颇具些难度，以下文章是鄙人给出的一个证明

证明过程

考虑B_n(mx)的母函数\frac{te^{mtx}}{e^t-1}，易知以下方程创立

frac{te^{mtx}}{e^t-1}=frac{1}{m}frac{mte^{mtx}}{e^{mt}-1}color{blue}{frac{e^{mt}-1}{e^t-1}}\

而白色多项式是等差数列e^{kt}的前m项和，即

color{blue}{frac{e^{mt}-1}{e^t-1}}=sum_{k=0}^{m-1}{e^{kt}}\

将结果带入\frac{te^{mtx}}{e^t-1}得

frac{te^{mtx}}{e^t-1}=frac{1}{m}frac{mte^{mtx}}{e^{mt}-1}sum_{k=0}^{m-1}{e^{kt}}=frac{1}{m}sum_{k=0}^{m-1}{color{}{frac{mte^{(x+frac{k}{m})mt}}{e^{mt}-1}}}\

仔细观察便可发觉，白色部份是我们熟悉的方式:

color{}{frac{mte^{(x+frac{k}{m})mt}}{e^{mt}-1}}=sum_{n=0}^{infty}{frac{t^n}{n!}B_n(x+frac{k}{m})m^n}\

按照控制收敛定律可知，一致收敛的级数可交换求和符号

将上式带回\frac{te^{mtx}}{e^t-1}的展开式并交换求和符号可得

frac{te^{mtx}}{e^t-1}=m^{n-1}sum_{n=0}^{infty}{frac{t^n}{n!}sum_{k=0}^{m-1}{B_n(x+frac{k}{m})}}\

而\frac{te^{mtx}}{e^t-1}亦可用B_n(mx)展开

frac{te^{mtx}}{e^t-1}=sum_{n=0}^{infty}{frac{t^n}{n!}B_n(mx)}\

最后对比两级数系数易得

B_n(mx)=m^{n-1}sum_{k=0}^{m-1}{B_n(x+frac{k}{m})}\

设x=0:

B_n=m^{n-1}sum_{k=0}^{m-1}{B_n(frac{k}{m})}\

再设m=2:

B_n=2^{n-1}sum_{k=0}^{1}{B_n(frac{k}{2})}=2^{n-1}left[B_n+B_n(frac{1}{2})right]\

即

color{}{B_n(frac{1}{2})=-(1-frac{1}{2^{n-1}})B_n}\

伯努利方程的傅里叶级数

生成函数

frac{xe^{tx}}{e^x-1}=sum_{k=0}^{infty}{frac{x^k}{k!}B_k(t)}\

e^{tx}的展开

如今准备在0leqtleq1内，以{T}=1为周期，对e^{tx}关于t进行傅里叶展开

e^{tx}=frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}{(pit+pit)}\

其中a_0等于

a_0=2int_{0}^{1}e^{tx}{dt}=frac{2(e^x-1)}{x}\

a_n等于

begin{align}a_n=&2int_{0}^{1}{e^{tx}cos2npitdt}=frac{2x}{x^2+(2npi)^2}(e^x-1)end{align}\

b_n等于

begin{align}b_n=&2int_{0}^{1}{e^{tx}sin2npitdt}=-frac{4npi}{x^2+(2npi)^2}(e^x-1)end{align}\

因而e^{tx}的级数为

color{blue}{e^{tx}}=color{}{frac{e^x-1}{x}}+color{}{frac{e^x-1}{x}}color{}{sum_{n=1}^{infty}{frac{2x}{x^2+(2npi)^2}(pit-2npisin2npit)}}\

相信上式不会介意我把\color{}{frac{e^x-1}{x}}提及左侧去：

color{blue}{frac{xe^{tx}}{e^x-1}}=1+color{}{sum_{n=1}^{infty}{color{}{frac{2x}{x^2+(2npi)^2}}(pit-2npisin2npit)}}\

敏锐的你肯定发觉了左侧恰是B_k(t)的母函数，看来进展还不错

瞧瞧我们能对右边的级数做些哪些

对级数内白色部份进行变换

color{}{frac{2x}{x^2+(2npi)^2}=frac{2x}{(2npi)^2}}color{}{frac{1}{1+(frac{x}{2npi})^2}}\

按照frac{1}{1-x}=sum_{n=0}^{infty}{x^n}，白色部份可以展开成以下级数

color{}{frac{1}{1+(frac{x}{2npi})^2}=sum_{k=0}^{infty}{(-1)^k(frac{x}{2pi})^{2k}frac{1}{n^{2k}}}}\

带回前式并对求和指标提高一个单位(k=0k=1)：

color{}{frac{2x}{x^2+(2npi)^2}}=color{}{sum_{k=1}^{infty}{(-1)^{k-1}frac{2x^{2k-1}}{(2pi)^{2k}}frac{1}{n^{2k}}}}\

将此结果带入color{blue}{frac{xe^{tx}}{e^x-1}}：

color{blue}{frac{xe^{tx}}{e^x-1}}=1+color{}{{sum_{n=1}^{infty}}{color{}{sum_{k=1}^{infty}{(-1)^{k-1}frac{2x^{2k-1}}{(2pi)^{2k}}}color{}{frac{1}{n^{2k}}(pit-2npisin2npit)}}}}\

已知红色部份和红色部份的级数一致收敛

按照控制收敛定律，我们可以交换两个级数的求和符号：

begin{align}color{blue}{frac{xe^{tx}}{e^x-1}}=&1+color{}{sum_{k=1}^{infty}{(-1)^{k-1}frac{2color{green}{x^{2k-1}}}{(2pi)^{2k}}}}color{}{sum_{n=1}^{infty}{frac{color{green}pit-color{}{2pi}nsin2npit}{n^{2k}}}}\\=&1+color{}{sum_{k=1}^{infty}{(-1)^{k-1}frac{2color{plum}{(2k)!}}{(2pi)^{2k}}}}color{green}{frac{x^{2k}}{(2k)!}}color{}{sum_{n=1}^{infty}{frac{cos2npit}{n^{2k}}}}\\&\+color{}{sum_{k=1}^{infty}{(-1)^{k}}frac{2color{plum}{(2k-1)!}}{(2pi)^{2k-1}}}color{green}{frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}}color{}{sum_{n=1}^{infty}{frac{sin2npit}{n^{2k-1}}}}end{align}\

但愿活跃的色调可以代替繁杂的推理

返回瞧瞧B_k(t)的母函数定义

frac{xe^{tx}}{e^x-1}=sum_{k=0}^{infty}{frac{x^k}{k!}B_k(t)}=1+sum_{k=1}^{infty}{frac{x^k}{k!}B_k(t)}\

其中{B_0(t)=B_0=1}

对于右边的级数，其实我们可以重新排列它：

sum_{k=1}^{infty}{frac{x^k}{k!}B_k(t)}=sum_{k=1}^{infty}{frac{x^{2k}}{(2k)!}B_{2k}(t)}+sum_{k=1}^{infty}{frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}B_{2k-1}(t)}\

即对所有自然数指标的求和，等于分别对所有奇数项和偶数项指标的求和

对比刚刚得到推论的级数系数便可得到：

begin{align}&B_{2k-1}(t)=(-1)^kfrac{2(2k-1)!}{(2pi)^{2k-1}}sum_{n=1}^{infty}{frac{sin2npit}{n^{2k-1}}}\\&B_{2k}(t)=(-1)^{k-1}frac{2(2k)!}{(2pi)^{2k}}sum_{n=1}^{infty}{frac{cos2npit}{n^{2k}}}end{align}\

就此，我们便从另一个角度推导入了伯努利方程的傅里叶级数了

特例

若设k=1，可以得到以下关系式

B_{1}(t)=-frac{1}{pi}sum_{n=1}^{infty}{frac{sin2npit}{n}}=t-frac{1}{2}\

更完美的表达式

其实我们希望能有一个简约的表达式

B_k(t)=-frac{2k!}{(2pi)^k}sum_{n=1}^{infty}{frac{cos(2npit-kpi/2)}{n^k}}\

黎曼zeta函数

简介格奥尔格·弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼，美国物理家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。他在1859年发表的关于质数计数函数的知名论文包含了黎曼推测的原始陈述，被觉得是解析图论中最具影响力的论文之一。通过对微分几何的开拓性贡献，黎曼奠定了广义相对论物理的基础。生平他出生于莱比锡王国（今意大利下萨克森）的小镇布雷瑟伦茨。他的女儿弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼是当地的路德会神父，曾出席拿破仑战争。他在六个小孩中排名第二。黎曼从小就表现出非凡的语文技能，比如估算能力，但担心在公共场合讲演。

1840年等比数列的性质，黎曼迁往莱比锡和祖父生活并步入高中学习。1842年祖父过世后，他搬去吕讷堡的约翰内乌姆中学（）。1846年，依照母亲的意愿，黎曼步入哥廷根学院神大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些物理讲堂，包括高斯关于最小二加法的讲堂。在得到丈夫的准许后，他改学物理。

1847年春，黎曼转入柏林学院，投入雅可比、狄利克雷和雅各布·施泰纳门下。三年后他回到哥廷根学院任教。1851年获博士学位。

1854年他做了第一次讲演，“论作为几何基础的假定”，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了物理基础。他在1857年升为哥廷根学院的编外院士，并在1859年狄利克雷逝世后作为狄利克雷的承继人任正院士。他也是第一个建议用低于三维或四维描述数学现实的人。

1862年他与埃莉泽·科赫（EliseKoch）离婚，因为患肺病，开始了休养生活。

1866年，法兰克福和普鲁士的部队在哥廷根发生冲突，黎曼逃出了那儿。他在第三次去法国的途中因肺结核在塞拉斯卡（）逝世，他被埋葬在此地的陵园。zeta函数的递推公式

我们晓得黎曼zeta函数和eta函数有以下关系

eta(n)=(1-frac{1}{2^n-1})zeta(n)\

其中

zeta(n)=sum_{k=1}^{infty}{frac{1}{k^n}},\eta(n)=sum_{k=1}^{infty}{frac{(-1)^{k-1}}{k^n}}\

再瞧瞧我们刚刚得到的伯努利方程的加法公式

color{}{B_n(frac{1}{2})=-(1-frac{1}{2^{n-1}})B_n}\

这也许暗示我们可以通过zeta函数估算B_n(frac{1}{2})

黎曼通过精湛的方法将zeta函数解析延拓到了除n=1外的全体复平面，并得到了以下函数式等式

color{blue}{zeta(n)=2^npi^{n-1}sinfrac{npi}{2}Gamma(1-n)zeta(1-n)}\

偷偷说一句，虽然欧拉很早就得到了与此等价的公式

color{}{zeta(1-n)=2(2pi)^{-n}cosfrac{npi}{2}Gamma(n)zeta(n)}\

由此可知

color{}{cosfrac{npi}{2}zeta(n)=frac{(2pi)^n}{2}frac{zeta(1-n)}{Gamma(n)}}\

B_n(x)的傅里叶级数

正如昨晚做的，我们可以以T=1为周期，在0leqxleq1内对B_n(x)进成傅里叶展开

B_n(x)=-frac{n!}{(2pii)^n}sum_{k=-infty}^{infty}{frac{e^{-2piikx}}{k^n}}\

以下推论是此级数的等价方式

(1)当n=1时

B_{n}(x)=-sum_{k=1}^{infty}{frac{sin2kpix}{kpi}}=x-frac{1}{2}\

(2)当1">n>1时

B_{n}(x)=-frac{2n!}{(2pi)^n}sum_{k=1}^{infty}{frac{cos(2kpix-npi/2)}{k^n}}\

黎曼zeta函数在正整数的取值

当n为奇数时，不妨设n2n，这么(2)式可化为

B_{2n}(x)=(-1)^{n+1}frac{2(2n)!}{(2pi)^{2n}}sum_{k=1}^{infty}{frac{cos2kpix}{k^{2n}}}\

设x=0，我们便得到了zeta(2n)的表达式

color{}{zeta(2n)=(-1)^{n-1}frac{(2pi)^{2n}}{2(2n)!}B_{2n}}\

至于n取正偶数时，zeta(n)目前还仍未找到一个封闭表达式

黎曼zeta函数在负整数的取值

因为负质数是zeta函数的Zeros，因而只考虑它在负偶数的取值

color{blue}{zeta(1-2n)=(-1)^nfrac{2(2n-1)!}{(2pi)^{2n}}}color{}{zeta(2n)}\

将\color{}{zeta(2n)}的表达式带入上式可得

color{blue}{zeta(1-2n)=frac{B_{2n}}{2n}}\

begin{align}color{blue}{zeta(1-n)}&color{blue}{=}color{blue}{frac{B_{n}}{n}\\\\\nne0}\color{blue}{zeta(1-n)}&color{blue}{=}color{blue}{-frac{1}{12}\\\\n=0}end{align}\

回到(2)式，如今设x=frac{1}{2}，并带入昨天的推论：

begin{align}B_{n}(frac{1}{2})&=-frac{2n!}{(2pi)^n}sum_{k=1}^{infty}{frac{cos(kpi-npi/2)}{k^n}}\&=-frac{2n!}{(2pi)^n}cosfrac{npi}{2}sum_{k=1}^{infty}{frac{(-1)^k}{k^n}}\&=-frac{2n!}{(2pi)^n}cosfrac{npi}{2}eta(n)\&=-(1-frac{1}{2^{n-1}})frac{2n!}{(2pi)^n}color{}{cosfrac{npi}{2}zeta(n)}\&=-(1-frac{1}{2^{n-1}})color{blue}{nzeta(1-n)}\&=-(1-frac{1}{2^{n-1}})color{}{B_n}end{align}\

于是我们便再度得到了

color{}{B_{n}(frac{1}{2})=-(1-frac{1}{2^{n-1}})B_{n}}\

结语

人们在欣赏优美的数、式和物理图形时，将其与现实生活联系，引入到人们的精神世界中，形成丰富的联想和创造，反映出人们崇高的思想境界和要求，因此形成了风格奇特、内涵深刻、语言新颖的物理名言。

物理座右铭是物理殿堂的一颗放射异彩的明珠。人们将数字语言、数、式和图形赋以新的涵义，使之饱含了人生哲理和丰富的蕴意美等比数列的性质，进一步显示了人们的审美观已步入了更高的层次。