lny=g(x)·lnf(x)
两边同时对x求导，
1/y·y'=g'(x)·lnf(x)+g(x)·[lnf(x)]'
=g'(x)·lnf(x)+g(x)·1/f(x)·f'(x)

∴y'=y·[g'(x)·lnf(x)+g(x)·f'(x)/f(x)]

为什么指数函数的导数是其本身呢？

先纠正下，是e的x次方这个特殊的指数函数导数是其本身，普通的指数函数a的x次方的导数是(a^x)×lna。

为什么e的x次方的导数还是e^x呢？根据定义来讲，有

求对数函数和指数函数的导函数

e的定义：
e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...
设a>0,a!=1
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(log a(x))'
=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)
=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))
=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))
=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))
=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))
=1/x*log a(e)
特殊地，当a=e时，(log a(x))'=(ln x)'=1/x。
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设y=a^x
两边取对数ln y=xln a
两边对求x导y'/y=ln a
y'=yln a=a^xln a
特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。